婷婷激情成人 基础微分几何（三）——曲面的一些基本成见

发布日期：2024-10-29 10:21    点击次数：136

  本节运行咱们学习曲面婷婷激情成人，基础微分几何的大部老实容王人在究诘曲面。

  曲面不错毛糙地深切为，那些需要两个参数且只消两个参数方式的几何图形。比如：

例1:

3维空间中的恣意一个平面不错由一次方程ax+by+cz+d=0暗示。（这里x，y，z暗示变量（参数），a，b，c，d是常数。）固然看起来好像有3个参数x，y，z，但只消取定x，y，z中的恣意两个，剩下的一个也就笃定了。

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  若是咱们以这个平面内恣意两条反抗行的直线A，B为轴，那么平面内每个点王人不错暗示成xA+yB，x，y分别是这个点在这两条固定的直线（向量）A，B上的投影。一朝(x，y)笃定了，那么平面内相应的点也笃定了。是以通盘平面由两个参数x，y方式。

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例2:

3维空间中到一个定点O的距离王人极端的点的麇集，组成了一个曲面，称为球面（定点O称为球面的球心，球面上的点到O的距离称为球面的半径）。球面上的点称心方程：

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（假定球心的坐标为（x0，y0，z0），半径为r。）

  为了浅易咱们只辩论球心在原点的单元球面，其方程为x2+y2+z2=1.相似的，球面方程的3个变量x，y，z，只消取定其中恣意两个，第三个也就笃定了。是以球面不错由两个参数方式。不外更常用的，是使用两个角度为参数来方式球面。球面上每个点p王人不错由两个角度决定，这两个角度，一个是由流通这个点p与球心的直线，与这条直线在xy平面的投影的夹角（记为θ）；另一个是由流通p与球心的这条直线在xy平面上的投影，与x轴的夹角（记为φ）。（θ即是时时所说的纬度，φ即是经度。）如图所示：

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球面上每个点(x，y，z)王人不错由这两个角度方式：

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例3：

3维空间中到一条定直线的距离王人极端的麇集，组成的曲面称为圆柱面(circular cylinder)（这条定直线称为圆柱面的轴，圆柱面上的点到轴的距离称为圆柱面的半径）。为了浅易咱们只辩论轴为z轴，半径为1的圆柱面，其方程为x2+y2=1.（也即是空间中所有在xy平面上的投影在圆x2+y2=1上的点的麇集。）

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  圆柱面最毛糙的参数方式是：

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（参数v的意旨是这个点到xy平面的距离，u的意旨是这个点到xy平面的投影在圆x2+y2=1上的位置。）

  一般而言，所谓的曲面即是不错由两个参数且只需要两个参数就能方式的几何图形。

  对比弧线的界说，咱们说过弧线即是由一个且只需要一个参数方式的几何图形，这个参数在一段区间(a，b)上连气儿地变化，变化在3维空间中留住的轨迹即是这条弧线，因此一条弧线即是一段区间(a，b)到3维空间的映射。

  近似的曲面有两个参数，两个参数各从容两头区间(a，b)，(c，d)上变化，这就至极于一个点在平面上的一块区域(a，b)×(c，d)连气儿地变化，变化在3维空间中留住的像，即是这个曲面。

  因此一个曲面即是一个映射，它把平面上的一块区域映射到3维空间中。

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界说1：一个曲面即是一个从平面上的一块区域到3维空间的连气儿映射。

  比如，球面即是从θφ平面到3维空间的映射的像：

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而圆柱面是从uv平面到3维空间的映射的像：

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  界说1固然照旧收拢了咱们称之为曲面的东西的施行，但在当代数学的意旨下，界说1还不够严格，或者说不够圆善。这是因为关于绝大多量曲面，咱们无法只用两个参数协调方式通障碍面上所有的点。若是咱们用两个参数（不妨设是u，v）来方式这些曲面，那么曲面上可能存在着一些点（或区域），这些点或者无法用u和v来方式，或者不错用u和v方式但在这种方式下是“不正规”的点。

  比如关于球面，在上头的参数暗示下：

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存在着两个“不正规”的点：南顶点和北顶点，因为这两个点的cosθ=0，是以这两个点的经度φ不错是任何值。为了幸免由此产生的运筹帷幄艰辛，咱们需要再引进两个不同的参数（不妨设是u，v），使得原本的“不正规”点在这两个新参数下是“正规”的点，只消新参数u，v的方式和旧参数θ，φ的方式在它们重复的区域是“一致的”，那么咱们就不错在两组参数方式之间互相调遣（坐标变换），用一组参数方式另一组参数无法方式的那些点。但新的参数也会产生新的“不正规”点，是以莫得一组参数省略单独方式通盘球面，需要在多组参数之间互相调遣。

  即使是球面这样毛糙的曲面也无法只用一组参数协调方式通障碍面，更毋庸说更复杂的曲面了。因此在一般情况下，咱们对曲面的界说，只消求其上每个点过甚近邻的区域王人不错用两个参数方式，曲面上不同的区域上的点由不同组参数方式，不条件通障碍面只由一组参数方式。

  不外咱们这里仅仅对曲面的当代界说与界说1的判袂作念一个毛糙的证据，之后道论曲面时仍然是使用界说1界说的曲面，不去严格分离参数方式的是通障碍面照旧曲面上的一块局部区域。因为微分几何最基础的内容是通过曲面的局部性质究诘曲面，而曲面的当代界说惟有在系统的学习流形过甚微分结构的时刻才需要，现时过多地善良这些详细的内容只会让咱们丢失重心。

  关于一个由参数u和v方式的曲面，咱们之后用方程(x=x(u，v)，y=y(u，v)，z=z(u，v))暗示它。曲面上的每个点也不错用3维空间中的向量暗示A=(x(u，v)，y(u，v)，z(u，v))。

  由于曲面上每个点王人由参数u和v方式，关于每一个固定的u值，曲面上的点王人会跟着v的变化而变化，其轨迹是一条（曲面上的）弧线；相似的关于每一个固定的v值，曲面上的点王人会跟着u的变化而留住一条弧线。因此由所有u=常数和v=常数的弧线（u-弧线和v-弧线）组成的坐标网隐蔽了通障碍面，曲面上的每个点王人不错看作是u-v坐标系下的点。

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  关于曲面上恣意少量，它对应的向量为A。咱们分别把A对u和v求偏导，获得的两个量Au和Av分别是过A点的u-弧线和v-弧线的切向量。Au和Av决定了一个平面（若Au和Av反抗行），称为曲面在点A的切平面。

  施行上，过曲面上少量A，有无数条曲面上的弧线，不错讲解，（若A是“正规”的点）所有这些弧线在A点处的切向量王人在统一个平面内，即切平面。因此，曲面在一个点处的切平面不依赖于你选拔哪两个量u，v看成参数，无论Au和Av是哪个标的的向量，由Au和Av决定的平面王人是切平面。切平面内的每个点不错暗示为A+pAu+qAv，p，q王人是常数。

  曲面上一个点处的切平面不错看作是过这个点最贴近曲面的平面，它长短常要害的成见。咱们说过无法径直对攻击的东西进行量化，思要量化攻击的东西只可通过“直”的东西去贴近它。关于曲面来说，思要究诘曲面的性质，就需要通过究诘曲面上的点的切平面，若何跟着点的变化而变化，来量化曲面的性质。天然具体的经过并非简明扼要能说清，这施行上即利弊面论的主要内容，亦然咱们接下来需要花几节发扬的内容。

  与切平面相对应的成见是法向量。过曲面上点A处，垂直于这个点上的切平面的标的，称为法标的，法方朝上的向量称为法向量，法方朝上过点A的直线称为法线。由于切平面是由向量Au和Av张成的，是以（由叉乘的几何意旨知）向量Au×Av地方的标的是法标的。于是法方朝上的单元向量（单元法向量，用NA暗示）即是

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  曲面上每个点（不包括奇点）王人独一双应了一个切平面，每个切平面王人独一双应了一个单元法向量，因此每个点王人独一双应了一个单元法向量。咱们不错通过单元法向量的变化来方式曲面上的点若何变化（天然这亦然背面几节的内容）。

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  前边咱们说曲面上有些点是“正规的”有些点不是“正规”的，现时咱们给出“正规”点和“非正规”点的准确意旨。

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界说2：曲面上的一个点A，若向量Au和Av反抗行（即Au×Av≠0），则称A是正规(regular)点；不然称为非正规(irregular)点。

  每个正规点上有独一的切平面，独一的法线，咱们不错通过切平面和法线究诘它们，而非正规点则不能。以后若无特等证据咱们说的王人是正规点。

  值得一提的是，咱们对点的正规性的界说依赖于向量Au和Av，因此与参数的选拔干系。

  有些非正规点上向量Au和Av反抗行是由于参数的选拔形成的，这类非正规点不错通过参数的变换变成正规点。比如前边说过的球面上的南顶点和北顶点，在以经度φ纬度θ的参数暗示下，这两个点长短正规点（在这两个点Aφ=0，显着不会与Aθ平行）。但这两个点显着和球面上其它的点莫得施行的判袂，它们之是以不正规饱胀是因为参数的选拔，不错通过选拔其它的参数暗示，使得这两个点在那种参数暗示下是正规点。

  但也有些非正规点，它们的非正规性不是由参数的性质形成的，而利弊面自己的性质，这类非正规点称为奇点。比如圆锥面，其方程为(tcosφ，tsinφ，t)，在t=0处的阿谁点（即原点），即是奇点。在奇点处切平面莫得界说。

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  此外，若是一个曲面在3维空间中与它自身相交，那么交点亦然奇点，这些交点有多个不同的参数值。

  对奇点的究诘有挑升的奇点表面，那已远超咱们要讲的内容。

  终末疏忽说一下，在弧线论时咱们说过天然参数的成见，咱们不错以弧线的弧长为参数方式弧线，由于弧长是弧线内在的性质，这样获得的天然参数方程不依赖于坐标系的选拔。

  关于曲面来说也有相似的成见。每个曲面王人不错看作是由无数条弧线交汇而成，曲面上有一种弧线，以这种弧线的弧长为参数，获得的参数方程具有某种施行属性，省略响应曲面的内在性质。这种弧线即是测地线。

  这方面具体的内容要到讲测地线以后智力说清，但这里咱们有一个毛糙的例子，即是球面。球面的测地线是球面上的大圆，而球面上的经度和纬度就对应了球面上大圆的弧长，是以以经度和纬度方式球面是很“天然”的事情。

参考文件

【1】Andrew Pressley， Elementary Differential Geometry.

【2】梅向明，黄敬之 编，微分几何（第三版）。

【3】Dirk J. Struik， Lectures on Classical Differential Geometry， Second Edition.

【4】Barrett O`Neill，Elementary Differential Geometry.

【5】维基百科_《surface》婷婷激情成人

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